Analyse des circuits série résistance-inductance en courant alternatif : impédance, phase et validation SPICE

Dans la section précédente, nous avons examiné les circuits alternatifs simples à résistance seule et à inductance seule. Maintenant, nous combinons les deux éléments en série pour explorer comment la résistance et la réactance interagissent et façonnent le comportement global du circuit.

Exemple de circuit série résistance-inductance

Considérons le schéma suivant :

Circuit série résistance-inductance : le courant retarde la tension appliquée de 0° à 90°.

La résistance fournit une résistance fixe de 5 Ω à toutes les fréquences, tandis que l'inductance contribue une réactance inductive de 3,7699 Ω à 60 Hz. Comme l'opposition de la résistance est purement réelle (5 Ω ∠ 0°) et celle de l'inductance purement imaginaire (3,7699 Ω ∠ 90°), leur effet combiné est une somme complexe que l'on appelle impédance.

L'impédance, notée Z, est mesurée en ohms comme la résistance et la réactance, mais elle encapsule à la fois la magnitude et l'information de phase.

L'impédance totale du circuit est donc :

Résistance et loi d'Ohm en courant alternatif

L'impédance relie tension et courant de la même manière que la résistance dans les circuits continus :

Cette généralisation de la loi d'Ohm s'applique à tout réseau alternatif, que les éléments soient résistifs, inductifs ou une combinaison des deux. Pour des arrangements en série ou en parallèle, nous traitons l'ensemble des composants comme une seule impédance.

Pour résoudre le courant, nous établissons d'abord une référence de phase pour la source de tension, conventionnellement prise à 0°. La tension aux bornes de la résistance reste en phase avec son courant (déphasage 0°), tandis que la tension aux bornes de l'inductance précède son courant de +90°.

Le courant retarde la tension dans un circuit série L-R.

Dans ce circuit mixte, le courant global retarde la tension d'alimentation de seulement 37,016°, bien moins que le retard de 90° observé dans un circuit purement inductif.

Mathématiquement, la tension aux bornes de chaque composant reflète sa relation de phase individuelle avec le courant :

La tension de la résistance a la même phase que le courant, confirmant qu'ils sont en phase. Inversement, la tension de l'inductance est déphasée de 90° par rapport à son courant :

Loi des mailles de Kirchhoff revisitée

La loi des mailles de Kirchhoff (KVL) s'applique également aux quantités complexes :

Vérification avec SPICE

Nous avons validé les résultats analytiques à l'aide de SPICE :

Circuit SPICE : R-L

v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
l1 2 0 10m
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

freq v(1,2) v(2) i(v1)
6.000E+01 7.985E+00 6.020E+00 1.597E+00
freq vp(1,2) vp(2) ip(v1)
6.000E+01 -3.702E+01 5.298E+01 1.430E+00

SPICE rapporte le courant avec un décalage de 180° par rapport à la source, une convention qui n'affecte pas l'interprétation physique des résultats. Les angles de phase pour les tensions de la résistance et de l'inductance correspondent à nos prédictions analytiques (-37,02° et 52,98°).

Pour rationaliser le processus de calcul, nous employons une méthode tabulaire. Le tableau liste l'impédance de chaque composant sous forme rectangulaire et polaire, puis les somme pour trouver l'impédance totale. En utilisant la loi d'Ohm (I = E/Z), nous calculons le courant série commun et déterminons ensuite chaque chute de tension.

Ci-dessous, un schéma de l'approche tabulaire (simplifié pour la brièveté) :

Comme le circuit est en série, le même courant traverse chaque élément. Une fois que nous avons le courant total, nous le multiplions par l'impédance de chaque composant pour obtenir la chute de tension correspondante. Cette méthode reflète l'approche continue mais nécessite l'arithmétique complexe.

Toutes les quantités en analyse alternative doivent être représentées comme des nombres complexes ; négliger la phase conduit à des résultats incorrects. Une fois la phase correctement prise en compte, les techniques d'analyse sont essentiellement identiques à l'analyse de circuits continus.

Les lectures d'instruments, telles que les valeurs du voltmètre ou de l'ampèremètre, correspondent à la magnitude du fasceur complexe (notation polaire). Par exemple, un voltmètre aux bornes de la résistance indiquerait 7,9847 V, et non les composantes rectangulaires 6,3756 V + j4,8071 V.

En résumé :

• L'impédance (Z) est la somme complexe de la résistance (R) et de la réactance (X).
• Les impédances en série s'additionnent algébriquement : Z_total = Z₁ + Z₂ + … + Zₙ.
• Une impédance purement résistive a une phase de 0°, une impédance purement inductive une phase de +90°.
• Loi d'Ohm pour le courant alternatif : E = IZ, I = E/Z, Z = E/I.
• Dans un circuit R-L mixte, la phase de l'impédance se situe entre 0° et +90°, et la phase du courant entre 0° et –90°.
• Les circuits série alternatifs obéissent aux mêmes règles que le continu : courant uniforme, chutes de tension additives, impédances additives.

Exemple : Une résistance de 40 Ω en série avec une inductance de 79,58 mH à 60 Hz.

• XL = 2πfL = 30 Ω.
• Z = R + jXL = 40 + j30 Ω.
• |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω.
• ∠Z = arctan(30/40) = 36,87°.
• Z = 50 Ω ∠ 36,87°.

Révision

• L'impédance quantifie l'opposition totale au courant comme un nombre complexe.
• Les impédances en série s'additionnent directement ; les calculs doivent être effectués sous forme complexe.
• Les composants purement résistifs ou inductifs ont des angles de phase fixes.
• La loi d'Ohm se généralise aux circuits alternatifs via l'impédance complexe.
• Les circuits mixtes présentent des angles de phase intermédiaires.
• Les circuits série alternatifs reflètent les fondamentaux du continu.

Feuilles de travail connexes

• Feuille de travail sur les inductances
• Feuille de travail sur la résistance, la réactance et l'impédance
• Feuille de travail sur la réactance inductive