Exploration des effets de phase géométrique dans les résonateurs nanofils à nanotubes de carbone

Résumé

La phase géométrique est une évolution de phase supplémentaire dans la fonction d'onde des vibrations, potentiellement applicable dans un large éventail de sciences et technologies. Les caractéristiques de la phase géométrique dans l'état comprimé pour un résonateur nanofil à base de nanotubes de carbone ont été étudiées au moyen de la méthode de l'opérateur invariant. L'introduction d'un opérateur invariant linéaire, utile pour traiter un système hamiltonien complexe dépendant du temps, a permis de dériver la formule analytique de la phase géométrique. En l'utilisant, nous avons analysé le comportement temporel de la phase géométrique sur la base d'illustrations pertinentes. L'influence des paramètres de compression sur l'évolution de la phase géométrique a été examinée. La phase géométrique, dans une large mesure, oscille, et l'enveloppe de cette oscillation augmente avec le temps. Le taux d'augmentation de la phase géométrique est élevé lorsque les paramètres, tels que l'amplitude classique de l'oscillation, le facteur d'amortissement et l'amplitude de la force d'entraînement, sont grands. Nous avons confirmé une augmentation très nette de la phase géométrique au fil du temps dans le cas où la fréquence angulaire du système atteint une valeur proche de la fréquence angulaire de résonance. Notre développement concernant les caractéristiques de la phase géométrique est crucial pour comprendre les caractéristiques topologiques dans les oscillations de nanofils.

Introduction

Les vibrations mécaniques des plus petits résonateurs, tels que les nanofils à base de nanotubes de carbone (CNT) [1-3], les nanofils semiconducteurs [4], le graphène [5] et les particules lévitées [6], sont un sujet de recherche principal dans la communauté des nanosciences depuis plus d'une décennie. Des recherches actives concernant les oscillations électromécaniques de résonateurs nanofils entraînés par une force périodique externe ont été menées dans les sphères théorique et expérimentale. En particulier, les résonateurs nanofils à base de CNT ont attiré un intérêt considérable en tant que dispositifs mécaniques à l'échelle nanométrique en raison de leurs sensibilités extraordinaires avec des facteurs de qualité élevés à une petite perturbation de l'environnement. Les résonateurs nanofils à base de CNT suspendus sont des candidats prometteurs pour des appareils mesurant une large gamme de grandeurs physiques, telles que les ondes EM [2], les petites forces [7], les masses [8], les températures [9] et les bruits [10].

Les analyses de l'évolution de phase quantique dans les oscillations de nanofils sont requises pour élucider théoriquement les caractéristiques sous-jacentes du système. Concernant les états vibrationnels quantiques des résonateurs nanofils à base de CNT [11], la phase géométrique [12] ainsi que la phase dynamique habituelle émergent comme une évolution supplémentaire de la phase. La phase géométrique [12] est un anholonomie d'un état quantique qui peut être applicable dans divers domaines de la physique. Les analyses de la phase géométrique peuvent être potentiellement adoptées pour caractériser les propriétés nano des nanofils, telles que les profils de résonance [13, 14], les fortes vibrations quantiques [15, 16], les mécanismes de relaxation de contrainte [17, 18], l'émergence de magnéto-plasmons de Dirac [19] et la topologie des oscillations d'Aharonov-Bohm [20].

L'étude de la phase géométrique associée à la dynamique non adiabatique peut fournir un aperçu pour les systèmes nanomecaniques, nécessaire à l'avancement de techniques de simulation précises [21]. La préparation, la manipulation et la détection d'états quantiques sont des facteurs importants dans les technologies quantiques. Le but de la présente recherche est d'éclairer les comportements temporels de la phase géométrique qui a lieu dans les états quantiques des oscillations de nanofils. Pour comprendre le mécanisme des vibrations de nanofils à base de CNT, nous étudierons l'évolution temporelle de la phase géométrique dans l'état comprimé qui est un état quantique de type classique comme l'état cohérent. Le mérite de l'état comprimé est que l'incertitude d'un quadrature dans cet état peut être réduite substantiellement au prix d'une augmentation de l'incertitude de l'autre quadrature, alors qu'une telle modulation d'incertitude est impossible dans l'état cohérent. En particulier, nous analyserons les effets de la résonance sur la phase géométrique. Comme l'énergie de résonance est significativement différente de l'énergie de l'état non-résonnant [22, 23], le comportement topologique de la fonction d'onde est non-trivial et peut être considérablement dévié de celui des situations normales. L'influence du changement de paramètres physiques et des paramètres de compression sur l'évolution de la phase géométrique sera également analysée rigoureusement. Les phases géométriques sont omniprésentes dans les systèmes dynamiques [24] et peuvent être appliquées à diverses technologies modernes, telles que l'informatique quantique [25], les interférométries d'intensité [26], le multitâche photonique [27], les protocoles de détection quantique [28] et les mesures de stabilité d'onde [29].

L'hamiltonien du système implique des fonctions temporelles associées à l'amortissement du système et à la force d'entraînement externe. Donc, le système est un type de systèmes hamiltoniens dépendants du temps (TDHS) dont les problèmes mécaniques quantiques sont largement étudiés jusqu'à récemment. La fonction temporelle dans l'hamiltonien d'un TDHS ne peut pas être séparée de la fonction des variables canoniques dans la plupart des cas, rendant la méthode conventionnelle de séparation des variables pour résoudre l'équation de Schrödinger inutilisable. Une méthode alternative puissante développée pour surmonter cette difficulté est la méthode de l'opérateur invariant introduite par Lewis et Riesenfeld [30, 31]. Cette méthode est un outil mathématique très utile lorsque nous dérivons des solutions quantiques d'un TDHS. De nombreux problèmes mécaniques quantiques décrits par des TDHS sont étudiés sur la base de cette méthode. Par exemple, ils incluent la diffusion chaotique de particules [32], la propagation de la lumière dans des milieux variables dans le temps [33], le contrôle d'électrons piégés et entraînés [34] et la non-classicité des circuits nanoélectroniques quantiques [35]. Il existe une variété d'autres méthodes pour les traitements mécaniques quantiques des TDHS, qui incluent la méthode de transformation unitaire [36], la méthode algébrique de Lie [37] et la méthode d'estimation hamiltonienne [38].

Étant donné que le système est un TDHS, nous utilisons la méthode de l'opérateur invariant afin d'obtenir des solutions quantiques du système. Un opérateur invariant linéaire qui est représenté en termes de l'opérateur d'annihilation sera introduit. Bien que les opérateurs d'annihilation et de création soient représentés en termes de temps en raison de la dépendance temporelle du système, les états cohérents et comprimés peuvent être obtenus en utilisant ces opérateurs d'échelle. La phase géométrique du système sera évaluée analytiquement en utilisant la fonction d'onde dans l'état comprimé. L'évolution temporelle de la phase géométrique sera analysée en détail sur la base de ses illustrations représentées avec divers choix de paramètres.

Méthodes

Pour étudier la phase géométrique, nous devons d'abord établir l'équation classique du mouvement de l'extrémité du nanofil. Comme la phase géométrique apparaît dans l'évolution quantique d'onde d'un TDHS, il est nécessaire de dériver les fonctions d'onde dans un état quantique spécifique que nous gérons. Nous considérerons l'état comprimé comme mentionné dans la partie introductive. Les fonctions d'onde dans les divers états quantiques d'un TDHS, y compris l'état comprimé, peuvent être obtenues à partir de la méthode de l'opérateur invariant.

L'équation du mouvement pour l'amplitude dépendante du temps x pour un mode de flexion d'un nanotube de carbone suspendu avec une masse effective m est donnée par [1]

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

où ω₀ est la fréquence angulaire de résonance, Q le facteur de qualité, f_d la force d'entraînement électrostatique divisée par m, η le coefficient d'amortissement non-linéaire, et β le paramètre de Duffing. Supposons pour commodité que le déplacement de l'extrémité est suffisamment petit par rapport à la longueur du fil CNT. Alors, nous pouvons négliger les termes non-linéaires dans l'Éq. (1), conduisant à [2]

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)

L'hamiltonien du système qui produit l'Éq. (2) est donné par

$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)

où γ=ω₀/Q. La solution classique de l'Éq. (2) est composée d'une fonction complémentaire X_c(t) et d'une solution particulière X_p(t), qui sont données par

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), \end{array} $$ (5)

où X_c,0 est une constante, \(\Omega = \sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}\), φ est une phase arbitraire, et

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \delta &=& \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)

La solution classique dans l'espace des moments est donnée de manière similaire, où la fonction complémentaire est \(P_{c} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)\) et la solution particulière est \(P_{p} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)\). Pour étudier la phase géométrique du système, nous devons d'abord dériver les solutions quantiques. Notez que l'hamiltonien du système donné dans l'Éq. (3) est explicitement dépendant du temps. Afin de dériver les solutions quantiques du système, nous utilisons la méthode de l'opérateur invariant [30, 31], qui est une méthode utile lorsque nous traitons un tel système variant dans le temps. Un opérateur invariant \(\hat {I}\) du système peut être dérivé de l'équation de Liouville-von Neumann, qui est donnée par \({d \hat {I}}/{d t} = {\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) = 0\). Donc, à partir d'une évaluation rigoureuse après insertion de l'Éq. (3) dans cette équation, nous avons un opérateur invariant linéaire [34] de la forme

$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)

où \(\hat {A}\) est l'opérateur d'annihilation qui est donné par

$$ \begin{aligned} \hat{A} =& \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ & \left.+ie^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{aligned} $$ (9)

L'adjoint hermitien de l'Éq. (9), \(\hat {A}^{\dagger }\), est l'opérateur de création.

Nous pouvons exprimer l'équation aux valeurs propres de \(\hat {A}\) comme

$$ \hat{A} |A \rangle = A |A \rangle. $$ (10)

En évaluant l'équation ci-dessus, nous avons l'expression de la valeur propre telle que

$$ A(t) = A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)

où A(0)=A₀e^−iφ avec

$$ A_{0} = \left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)

Alors que l'état cohérent |A〉 est l'état propre de \(\hat {A}\), l'état comprimé est l'état propre d'un opérateur \(\hat {B}\) qui est donné par

$$ \hat{B} = \mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)

où μ et ν sont des variables complexes qui donnent l'équation

$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)

Si nous écrivons l'équation aux valeurs propres de \(\hat {B}\) sous la forme

$$ \hat{B} |B \rangle = B |B \rangle, $$ (15)

|B〉 est l'état comprimé. En résolvant cette équation dans l'espace de configuration, nous avons

$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left[\frac{1}{2} m e^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right.\\ & \left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} m e^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \right\}. \end{aligned}} $$ (16)

Ainsi, la fonction d'onde dans l'état comprimé a été dérivée comme donné dans l'Éq. (16). Les caractéristiques quantiques du système peuvent être clarifiées sur la base d'une telle description analytique de la fonction d'onde. Pour μ=1 et ν=0, l'Éq. (16) se réduit à la fonction d'onde dans l'état cohérent, qui est l'état propre de l'Éq. (10) dans l'espace de configuration. La fonction d'onde, Éq. (16), sera utilisée dans la section suivante afin de dériver la phase géométrique dans l'état comprimé.

Résultats et Discussion

Il est bien connu que la phase dans l'évolution quantique d'onde implique la phase géométrique ainsi que la phase dynamique. La phase géométrique a été découverte pour la première fois par Berry en 1984 [12] pour un système évoluant cycliquement avec un changement adiabatique. Selon le théorème adiabatique en mécanique quantique, un état propre instantané d'un état quantique dans une évolution cyclique dans l'espace des paramètres restera sur le même état plus tard, tandis qu'il y a une accumulation additionnelle de la phase quantique qui est la phase de Berry. Une généralisation de la phase de Berry d'une manière qui inclut l'évolution non adiabatique, non cyclique et/ou non unitaire du système quantique est la phase géométrique.

La phase géométrique dans l'état comprimé est donnée par

$$ \gamma_{G}(t) = \int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)

La dérivation de la fonction d'onde par rapport au temps dans l'espace de configuration devient

$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}(t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}(t) \right\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)

où

$$ f_{1}(t) = - \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &= \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -i m e^{\gamma t} \right.\\ & \quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \quad \left.\times\left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \right) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!= \frac{\gamma}{4}-\frac{1}{\hbar m e^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ & \quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{aligned}} $$ (21)

Une évaluation plus approfondie après insertion de l'Éq. (18) dans l'Éq. (17) donne

$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =& \int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)

où

$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &= \frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &= \frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2}- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &= \left(\frac{2\Omega}{m\hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{m e^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2\sqrt{m e^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &= \frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar m e^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{aligned}} $$ (27)

Le dernier terme dans g₅ qui contient (μ−μ^∗)(ν−ν^∗) est inadéquat comme phase car c'est un nombre purement imaginaire. Donc, nous supprimons maintenant ce terme en choisissant au moins l'un de μ et ν comme une valeur réelle. Ce remède peut toujours être fait sans perte de généralité, car seule la phase relative entre μ et ν a une signification physique plutôt que leurs phases absolues.

De l'exécution de l'intégration dans l'Éq. (22), nous avons

$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &= A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos(\Omega t+2\varphi) \right.\\ & \quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_{3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)

où \(\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)\) sont donnés par

$$ \bar{g}_{i}(t) = G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)

avec

$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ & \quad\left.+\gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \{ 2(\Omega-\omega) \\ & \quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\!+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin(\omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta)+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ & \left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned}} $$ (31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &= \frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ & \quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta)] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad+\frac{i\gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{aligned}} $$ (32)

Ainsi, nous avons évalué la phase géométrique complète dans l'état comprimé, qui est donnée par l'Éq. (28) avec les Éqs. (23), (24) et (29)–(32).

L'évolution temporelle de la phase géométrique a été illustrée dans les Figs. 1, 2, 3 et 4. D'après la Fig. 1, nous voyons que la phase géométrique oscille et que l'enveloppe de cette oscillation augmente avec le temps. L'augmentation de l'enveloppe est plus grande lorsque A₀ est grand. Le motif de l'oscillation devient progressivement irrégulier à mesure que les valeurs de μ et ν augmentent. De plus, l'amplitude de l'oscillation devient grande au fil du temps.

Évolution temporelle de la phase géométrique pour plusieurs valeurs différentes de A₀. Les valeurs de (μ, ν) utilisées dans les graphiques sont (1, 0) pour a, (\(\sqrt {2}\), 1) pour b, et (\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {2}\)) pour c. Nous avons utilisé m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0,35, f_d=1, \(\hbar =1\), φ=0, et γ_G(0)=0. La phase et tous les paramètres sont pris comme sans dimension pour commodité, et cette convention sera également appliquée aux figures suivantes. Parce que A₀ est donné en termes de l'amplitude classique X_c,0 de la fonction complémentaire [voir l'Éq. (12)], nous pouvons confirmer à partir des graphiques que la phase géométrique est grande lorsque l'amplitude d'oscillation est élevée. Nous voyons aussi que la fluctuation de γ_G(t) devient grande à mesure que les valeurs μ et ν augmentent sous la condition donnée dans l'Éq. (14)

Évolution temporelle de la phase géométrique pour plusieurs valeurs différentes de γ. La valeur de ω utilisée dans les graphiques est 0,3 pour a, 0,99 pour b, et 5 pour c. Les paramètres de compression choisis ici sont \(\mu =\sqrt {2}\) et ν=1 ; ce choix donne un état q-comprimé au temps initial. Les autres quantités que nous avons utilisées sont m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, \(\hbar =1\), φ=0, et γ_G(0)=0. Nous confirmons que la phase géométrique est grande lorsque le facteur d'amortissement γ est grand dans la plupart des cas, mais pas tous. La fréquence du cas b est proche de la fréquence de résonance, tandis que celles de a et c en sont éloignées. La phase géométrique pour le cas de résonance (b) augmente très rapidement avec le temps

a–c Ce graphique est le même que la Fig. 2, mais pour le cas où les paramètres de compression choisis sont \(\mu =\sqrt {2}\) et ν=−1 qui donnent un état p-comprimé au temps initial. Du fait que les graphiques globaux dans ce cas ne sont pas si différents des correspondants de la Fig. 2, nous pouvons confirmer que l'évolution de γ_G(t) est presque indépendante des types de compression tant que les valeurs absolues de μ et ν ne changent pas

Évolution temporelle de la phase géométrique pour plusieurs valeurs différentes de f_d. La valeur de ω utilisée dans les graphiques est 0,3 pour a et 5 pour b. Nous avons utilisé \(\mu =\sqrt {2}\), ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0,3, A₀=1, \(\hbar =1\), φ=0, et γ_G(0)=0. À mesure que l'amplitude (f_d) de la force d'entraînement augmente, la phase géométrique devient grande

Les effets de compression dans l'état comprimé selon le paramètre de compression c où c=μ/ν ont été étudiés dans la réf. [39]. Selon l'analyse donnée dans la réf. [39] (voir Fig. 1(a) dans la réf. [39]), l'état comprimé illustré dans la Fig. 2, qui correspond à \(c=\sqrt {2}\), est l'état q-comprimé au temps initial, tandis que celui de la Fig. 3, qui correspond à \(c=-\sqrt {2}\), est l'état p-comprimé dans la même situation. En comparant les Figs. 2 et 3 l'une à l'autre, nous pouvons conclure que la phase géométrique dans l'état q-comprimé est presque la même que celle dans l'état p-comprimé.

Les effets de γ sur l'évolution de la phase géométrique peuvent être confirmés à partir des Figs. 2 et 3. La phase géométrique augmente plus rapidement lorsque γ est grand. En comparant les Figs. 2a et 3a avec les Figs. 2c et 3c, nous pouvons confirmer que la phase géométrique varie quelque peu rapidement lorsque ω est supérieure à la fréquence angulaire de résonance.

Le comportement temporel de la phase géométrique à l'état de résonance ou près de celui-ci du système peut être d'un grand intérêt [22, 23]. Les Figures 2b et 3b montrent que la phase géométrique augmente très rapidement lorsque ω est proche de la fréquence angulaire de résonance. Cela signifie que la fonction d'onde dans cette situation varie significativement avec le temps, car la magnitude de la phase géométrique est liée à la variation temporelle de la fonction d'onde. En fait, l'amplitude de l'oscillation du fil est remarquablement augmentée à l'état de résonance. D'ailleurs, les fréquences angulaires de résonance des résonateurs nanofils à base de CNT suspendus sont non seulement élevées mais aussi largement ajustables avec des facteurs de qualité très élevés [3]. Pour cette raison, les modes vibrationnels du système seront maintenus pendant longtemps jusqu'à ce qu'ils soient complètement amortis [11].

La Figure 4 montre que la phase géométrique est aussi affectée par l'amplitude de la force d'entraînement f_d. À mesure que f_d augmente, l'incrément de la phase géométrique dans le temps est rapide.

Conclusion

Nous avons étudié la phase géométrique dans l'état comprimé pour le système sur la base de la dynamique quantique avec l'équation de Schrödinger. Concernant la dépendance temporelle de l'hamiltonien qui décrit le système, la méthode de l'opérateur invariant a été introduite, qui est un outil potentiel pour dériver les solutions quantiques dans le cas où l'hamiltonien est décrit en termes de temps. Au moyen de cette méthode, la formule analytique de la phase géométrique pour l'oscillation de nanofil à base de CNT a été obtenue.

Une analyse détaillée des effets de phase, qui est nécessaire pour une compréhension théorique des vibrations mécaniques, a été réalisée. Notre développement de la phase géométrique est entièrement basé sur la mécanique quantique avec des évaluations mathématiques rigoureuses. La phase géométrique est sensible au changement de paramètres mécaniques et présente une oscillation dans un grand nombre de cas. L'influence des paramètres de compression sur l'évolution de la phase géométrique a également été analysée. Nous avons confirmé une forte augmentation de l'accumulation de phase géométrique au fil du temps près de la fréquence angulaire de résonance.

Nos résultats illustrent le comportement temporel de la phase géométrique qui apparaît dans la vibration d'un nanofil à base de CNT. L'analyse de la phase géométrique donnée dans ce travail est importante pour comprendre non seulement les caractéristiques topologiques du système mais aussi les vibrations dynamiques d'autres oscillateurs mécaniques à base de nanofils. En particulier, nous avons développé les propriétés de phase de l'état de résonance, dont la clarification est nécessaire dans l'application du système dans les technologies de l'information quantique et d'autres industries basées sur le quantique [40]. La méthode et le cadre similaires utilisés dans cette recherche peuvent également être étendus à d'autres systèmes nano, tels que les résonateurs Fabry-Pérot supraconducteurs [41], les nanocantilevers [42] et les systèmes hybrides qubit-résonateur-atome [43].

Abréviations

CNT :

Nanotube de carbone

EM waves :

Ondes électromagnétiques

TDHS :

Système hamiltonien dépendant du temps