Systèmes de numération
Chiffres romains
Les Romains ont conçu un système qui était une amélioration substantielle par rapport aux marques de hachage, car il utilisait une variété de symboles (ou chiffres ) pour représenter des quantités de plus en plus importantes.
La notation pour 1 est la lettre majuscule I. La notation pour 5 est la lettre majuscule V. D'autres chiffrements possèdent des valeurs croissantes :
Si un chiffre est accompagné d'un autre chiffre de valeur égale ou inférieure à sa droite immédiate, sans aucun chiffre supérieur à cet autre chiffre à droite de cet autre chiffre, la valeur de cet autre chiffre est ajoutée à la quantité totale.
Ainsi, VIII symbolise le nombre 8, et CLVII symbolise le nombre 157. D'un autre côté, si un chiffre est accompagné d'un autre chiffre de moindre valeur immédiatement à gauche, la valeur de cet autre chiffre est soustraite Depuis le premier. Par conséquent, IV symbolise le nombre 4 (V moins I) et CM symbolise le nombre 900 (M moins C).
Vous avez peut-être remarqué que les séquences de générique de fin pour la plupart des films contiennent un avis pour la date de production, en chiffres romains. Pour l'année 1987, il se lirait :MCMLXXXVII. Décomposons ce chiffre en ses éléments constitutifs, de gauche à droite :
N'êtes-vous pas content que nous n'utilisions pas ce système de numération ? Les grands nombres sont très difficiles à dénoter de cette façon, et la gauche contre droite / la soustraction contre l'addition de valeurs peut également être très déroutante.
Un autre problème majeur avec ce système est qu'il n'y a aucune disposition pour représenter le nombre zéro ou les nombres négatifs, deux concepts très importants en mathématiques.
La culture romaine, cependant, était plus pragmatique en ce qui concerne les mathématiques que la plupart, choisissant uniquement de développer leur système de numération dans la mesure où cela était nécessaire pour une utilisation dans la vie quotidienne.
Valeur de position
Nous devons l'une des idées les plus importantes de la numération aux anciens Babyloniens, qui ont été les premiers (à notre connaissance) à développer le concept de position chiffrée, ou valeur de position, en représentant de plus grands nombres.
Au lieu d'inventer de nouveaux chiffres pour représenter de plus grands nombres, comme le faisaient les Romains, ils ont réutilisé les mêmes chiffres, en les plaçant dans des positions différentes de droite à gauche.
Notre propre système de numération décimale utilise ce concept, avec seulement dix chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9) utilisés dans des positions « pondérées » pour représenter des nombres très grands et très petits.
Chaque chiffre représente une quantité entière, et chaque place de droite à gauche dans la notation représente une constante de multiplication, ou poids , pour chaque quantité entière.
Par exemple, si nous voyons la notation décimale « 1206 », nous savons que cela peut être décomposé en ses produits de poids constitutifs en tant que tels :
Chaque chiffre est appelé un chiffre dans le système de numération décimale, et chaque poids, ou valeur de position, est dix fois celui de celui immédiatement à droite.
Donc, nous en avons un un place, une dizaine de place, une centaine place, mille place, et ainsi de suite, de droite à gauche.
En ce moment, vous vous demandez probablement pourquoi je m'efforce de décrire l'évidence. À qui faut-il dire comment fonctionne la numération décimale, après avoir étudié les mathématiques aussi avancées que l'algèbre et la trigonométrie ?
La raison est de mieux comprendre les autres systèmes de numération, en connaissant d'abord le comment et le pourquoi de celui auquel vous êtes déjà habitué.
Le système de numération décimale utilise dix chiffres et des pondérations qui sont des multiples de dix. Et si on faisait un système de numération avec la même stratégie de places pondérées, sauf avec moins ou plus de chiffres ?
Numération binaire
Le système de numération binaire est un tel système. Au lieu de dix symboles de chiffrement différents, chaque constante de poids étant dix fois celle qui la précède, nous n'en avons que deux symboles de chiffrement, et chaque constante de poids est deux fois autant que celui d'avant.
Les deux symboles de chiffrement autorisés pour le système binaire de numération sont « 1 » et « 0 », et ces chiffres sont disposés de droite à gauche en doublant les valeurs de poids. L'endroit le plus à droite est les ceux place, tout comme avec la notation décimale. En procédant vers la gauche, nous avons les deux lieu, les fours lieu, les huit lieu, les seize lieu, et ainsi de suite.
Par exemple, le nombre binaire suivant peut être exprimé, tout comme le nombre décimal 1206, comme la somme de chaque valeur chiffrée multipliée par sa constante de poids respective :
Cela peut devenir assez déroutant, car j'ai écrit un nombre avec une numération binaire (11010), puis j'ai montré ses valeurs de position et son total sous forme de numération décimale standard (16 + 8 + 2 =26). Dans l'exemple ci-dessus, nous mélangeons deux types différents de notation numérique.
Pour éviter toute confusion inutile, nous devons indiquer quelle forme de numération nous utilisons lorsque nous écrivons (ou tapons !). Typiquement, cela se fait sous forme d'indice, avec un "2" pour binaire et un "10" pour décimal, donc le nombre binaire 110102 est égal au nombre décimal 2610 .
Les indices ne sont pas des symboles d'opérations mathématiques comme le sont les exposants (exposants). Tout ce qu'ils font, c'est d'indiquer quel système de numération nous utilisons lorsque nous écrivons ces symboles pour que d'autres personnes les lisent. Si vous voyez "310 ”, tout ce que cela signifie est le nombre trois écrit en utilisant décimal numération.
Cependant, si vous voyez "3 10 », cela signifie quelque chose de complètement différent :trois puissance dixième (59 049). Comme d'habitude, si aucun indice n'est affiché, le ou les chiffres sont supposés représenter un nombre décimal.
Généralement, le nombre de types de chiffrement (et donc le multiplicateur de valeur de position) utilisé dans un système de numération est appelé la base de ce système. Le binaire est appelé numération « base deux » et le nombre décimal « base dix ».
De plus, nous nous référons à chaque position de chiffrement en binaire comme un bit plutôt que le mot familier chiffre utilisé dans le système décimal.
Maintenant, pourquoi quelqu'un utiliserait-il la numération binaire ? Le système décimal, avec ses dix chiffres, a beaucoup de sens, étant donné que nous avons dix doigts sur lesquels compter entre nos deux mains. (Il est intéressant de noter que certaines anciennes cultures d'Amérique centrale utilisaient des systèmes de numération avec une base de vingt.
Vraisemblablement, ils ont utilisé les doigts et les orteils pour compter !!). Mais la principale raison pour laquelle le système de numération binaire est utilisé dans les ordinateurs électroniques modernes est la facilité de représenter électroniquement deux états de chiffre (0 et 1).
Avec des circuits relativement simples, nous pouvons effectuer des opérations mathématiques sur des nombres binaires en représentant chaque bit des nombres par un circuit qui est soit activé (courant) soit désactivé (pas de courant). Tout comme le boulier avec chaque tige représentant un autre chiffre décimal, nous ajoutons simplement plus de circuits pour nous donner plus de bits pour symboliser des nombres plus grands.
La numération binaire se prête également bien au stockage et à la récupération d'informations numériques :sur bande magnétique (les taches d'oxyde de fer sur la bande étant soit magnétisées pour un « 1 » binaire soit démagnétisées pour un « 0 » binaire), des disques optiques (un laser -fosse brûlée dans la feuille d'aluminium représentant un « 1 » binaire et une tache non brûlée représentant un « 0 » binaire, ou une variété d'autres types de supports.
Avant d'apprendre exactement comment tout cela est fait dans les circuits numériques, nous devons nous familiariser avec les systèmes binaires et autres systèmes de numération associés.
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