Numération décimale vs binaire : poids de position, efficacité et conversion

Compter de zéro à vingt est simple dans de nombreux systèmes de numération. Ci-dessous, nous illustrons la même séquence avec quatre styles différents : traits de comptage, chiffres romains, décimal et binaire.

Les traits de comptage et les chiffres romains sont simples, mais deviennent ingérables pour représenter de grandes valeurs. En revanche, les systèmes à poids de position — décimal (base 10) et binaire (base 2) — s'adaptent efficacement. Remarquez que la même quantité ne nécessite que deux chiffres décimaux, alors que cinq bits binaires sont nécessaires.

Pour évaluer combien de nombres distincts un système peut exprimer avec un nombre fixe de positions, le calcul dépend de la base :

• Décimal (base 10) : 5 chiffres peuvent représenter 10⁵ = 100 000 entiers différents, de 0 à 99 999.
• Binaire (base 2) : 8 bits peuvent représenter 2⁸ = 256 valeurs distinctes, de 0 à 11111111₂ (décimal 255).

Chaque position supplémentaire multiplie l'étendue représentable par la base du système (10 pour le décimal, 2 pour le binaire). Ce principe explique pourquoi les premiers ordinateurs, comme l'ENIAC, ont expérimenté des compteurs à anneaux décimaux pour réduire le nombre de circuits. Bien qu'innovante, l'approche binaire s'est avérée supérieure et est devenue la norme pour tous les systèmes numériques ultérieurs.

Conversion binaire vers décimal

Convertir un nombre binaire en décimal consiste à sommer les produits de chaque bit par son poids de position :

Le bit le plus à droite est le bit de poids faible (LSB), représentant les unités, tandis que le bit le plus à gauche est le bit de poids fort (MSB), représentant le poids le plus élevé (par exemple 128 dans un nombre sur 8 bits). Une valeur de bit 1 indique que son poids est ajouté au total ; 0 signifie qu'il est omis.

Lorsqu'un nombre binaire contient un point (.) — un « point binaire » analogue à la virgule décimale — les poids à droite se divisent par deux à chaque position (½, ¼, ⅛, …). Par exemple :

Ces illustrations pas à pas fournissent une méthode claire pour convertir toute valeur binaire, entière ou fractionnaire, en son équivalent décimal.

Fiches d'exercices associées :

• Fiche d'exercices sur les mathématiques binaires