Soustraction binaire par complément à deux

La soustraction binaire peut être effectuée avec l'emprunt bit par bit classique, mais une approche encore plus simple consiste à utiliser l'arithmétique en complément à deux. En convertissant le soustrait en sa forme binaire négative puis en ajoutant, l'opération se réduit à une seule addition binaire.

Le complément à deux permet d'encoder les nombres négatifs dans la même largeur de bits que les positifs en utilisant un bit de « poids négatif » en tête. Quand on additionne un nombre positif à un nombre négatif, le bit de poids fort de l'opérande négatif se comporte comme un poids négatif, effectuant effectivement une soustraction.

Exemple 1 : 7₁₀ − 5₁₀

Représentons chaque valeur en complément à deux en utilisant trois bits de données plus un bit de poids négatif :

sept positif = 0111₂
moins cinq = 1011₂

Maintenant, additionnons-les :

. 1111 ← Bits de report
. 0111
. + 1011
. ------
. 10010
. |
. Ignorer le bit de débordement
. Résultat = 0010₂

Le bit de débordement est ignoré car la position la plus à gauche représente un poids négatif (−8). Le motif final sur 4 bits 0010₂ équivaut à la valeur décimale 2, confirmant 7 − 5 = 2.

Exemple 2 : 18₁₀ + (−25)₁₀

Déterminons d'abord la largeur de bits requise. La plus grande magnitude dans l'opération est 25, qui nécessite cinq bits ; ajoutons-en un pour le bit de poids négatif, donnant six bits au total.

Représentons +25 et son complément à deux :

+25₁₀ = 011001₂ (six bits)
Complément à un de 11001₂ = 100110₂
Ajouter 1 → Complément à deux = 100111₂
−25₁₀ = 100111₂

Le positif 18 s'écrit :

18₁₀ = 010010₂

En additionnant les deux nombres :

. 11 ← Bits de report
. 100111
. + 010010
. ------
. 111001

Il n'y a pas de débordement, donc le résultat 111001₂ reste. Le bit de poids fort est 1, indiquant une valeur négative en complément à deux. Conversion retour en décimal :

(1 × −32) + (1 × 16) + (1 × 8) + (1 × 1) = −7

Ainsi 18 + (−25) = −7, comme prévu.

Fiches d'exercices associées :

• Fiche d'exercices sur les mathématiques binaires