Comprendre les nombres négatifs en binaire : signe-magnitude, complément et complément à deux

La soustraction peut être transformée en addition en traitrant le soustrait comme une valeur négative ; par exemple, 7 − 5 devient 7 + (−5).

Une fois la représentation binaire positive maîtrisée, l'étape suivante consiste à encoder les nombres négatifs pour que la soustraction puisse être effectuée avec la même routine d'addition.

En décimal, un signe moins préfixe le chiffre de poids fort (ex. −5). En matériel binaire, nous n'avons que deux états — haut ou bas — donc nous devons encoder le signe dans le motif de bits lui-même.

Dans ce contexte, nous n'avons pas de troisième symbole comme un signe « moins ». Une solution consiste à réserver un bit qui représente le signe mathématique :

Utiliser des bits pour d'autres fins que leur poids de position peut prêter à confusion ; par exemple, 1101₂ pourrait être lu comme treize à moins que le bit de poids fort ne soit traité comme un signe.

D'abord, décidez de la largeur totale en bits nécessaire pour accommoder la plus grande magnitude, puis assurez-vous que toutes les opérations restent dans cette largeur.

Dans l'exemple ci-dessous, nous limitons l'intervalle à −7 (1111₂) jusqu'à +7 (0111₂) en traitrant le bit de poids fort comme le signe, évitant ainsi toute interprétation erronée.

Encoder −5 comme 1101₂ illustre le système signe-magnitude, où le bit initial désigne le signe plutôt que la valeur, sacrifiant la pureté positionnelle pour la praticité.

Le bit de poids fort indique le signe ; les bits restants conservent les valeurs positionnelles standards (puissances de deux).

Complémentation

Bien que le signe-magnitude soit conceptuellement simple, il complique l'addition binaire. Comment ajouter −5 (1101₂) à un autre nombre en utilisant l'addition ordinaire ?

Créer un algorithme d'addition personnalisé contrecarrerait l'objectif ; ce serait équivalent à une soustraction posée, annulant tout avantage computationnel.

Une alternative — la complémentation — permet d'additionner les nombres négatifs en utilisant la méthode standard d'addition binaire et s'aligne naturellement avec les poids positionnels.

Dans ce schéma, le bit de poids fort délimite toujours l'intervalle mais porte maintenant un poids de position négatif (ex. −8). Par exemple, −5 est encodé ainsi :

Avec les trois bits de droite pouvant représenter des magnitudes de 0 à 7, et le bit le plus à gauche représentant soit 0 soit −8, on peut représenter tout entier de −7 (1001₂ = −8 + 1 = −7) à +7 (0111₂ = 0 + 7 = 7).

Les valeurs positives restent inchangées, mais les valeurs négatives nécessitent l'opération de complément.

Les nombres binaires négatifs dans la colonne de droite sont la somme des trois bits de droite plus le moins huit du bit de gauche, donc ils ne suivent pas la même progression que les nombres positifs.

Au lieu de cela, les trois bits de droite doivent être définis de sorte que, lorsqu'ils sont ajoutés à la valeur de position négative-huit, ils produisent le total négatif souhaité.

Complément à deux

Les trois bits de droite sont le complément à deux du correspondant positif. Par exemple :

Avec le bit de poids négatif comme quatrième bit (−8), le complément à deux pour tout nombre positif est la valeur nécessaire pour s'ajouter à −8 et obtenir l'équivalent négatif de ce nombre.

Calculer un complément à deux est simple : inverser tous les bits (le complément à un) et ajouter un. Par exemple, pour obtenir le complément à deux de cinq (101₂), on inverse d'abord en 010₂, puis on ajoute un pour obtenir 011₂, qui représente −5 en complément à deux sur trois bits.

Générer le complément à deux fonctionne de la même manière si vous manipulez tous les bits, y compris le bit de poids fort, d'un seul coup. Par exemple, convertir 0101₂ (cinq) en moins cinq :

Inverser tous les bits → 1010₂ ; ajouter un → 1011₂, représentant −5 en complément à deux sur quatre bits.

Il est crucial que la position du bit de poids négatif soit fixée avant d'effectuer toute conversion en complément à deux. Si le huitième bit était le bit de poids négatif (10000000₂), le complément à deux de 0000101₂ serait 1111011₂, représentant −5 en complément à deux sur huit bits.

Ainsi, dans un système sur huit bits, +5 est 00000101₂ et −5 est 11111011₂.

Fiches d'exercices associées :

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