Débordement binaire : comment les bits de signe affectent l'addition binaire

Lorsqu'on travaille avec des nombres binaires signés, une addition ou soustraction peut parfois dépasser la magnitude qu'un nombre fixe de bits peut représenter. Ce phénomène, appelé débordement (overflow), se produit car la position du bit de signe est fixée au début du calcul.

Dans l'exemple ci-dessous, nous utilisons cinq bits pour encoder la magnitude et le bit le plus à gauche (sixième) comme bit de signe. Avec cinq bits de magnitude, nous pouvons représenter 2⁵ = 32 valeurs entières, de 0 jusqu'à la magnitude maximale. Par conséquent, le plus grand nombre positif représentable est +31₁₀ (011111₂), et le plus petit est –32₁₀ (100000₂).

Restrictions du champ sur six bits

Lorsque nous additionnons deux nombres binaires utilisant le même champ sur six bits, le résultat peut tomber en dehors de l'intervalle –32 à +31. Par exemple, l'addition de +17₁₀ et +19₁₀ produit une somme réelle de +36₁₀, qui ne peut pas être représentée avec seulement cinq bits de magnitude.

La réponse binaire, 100100₂, est interprétée comme –28₁₀ lorsque le sixième bit est traité comme –32₁₀. Clairement, c'est faux ; l'erreur de débordement se produit car la vraie somme dépasse les limites du champ sur six bits. Ignorer le bit de « report » le plus à gauche donne un résultat incorrect.

L'addition de deux nombres négatifs peut produire un problème similaire. Par exemple, –17₁₀ + –19₁₀ devrait donner –36₁₀, mais avec un champ sur six bits, le résultat binaire est un positif 28, indiquant à nouveau un débordement.

Utilisation d'un septième bit pour le bit de signe

En élargissant le champ à sept bits — six pour la magnitude et un pour le signe — nous pouvons accommoder des sommes plus grandes. Les diagrammes suivants montrent les mêmes problèmes résolus lorsque le champ est assez large.

Bien qu'on puisse détecter le débordement en reconvertissant le résultat binaire en décimal, cette approche est fastidieuse et impraticable pour les circuits électroniques. Une méthode plus efficace repose sur le signe de la somme. Si deux nombres de même signe produisent un résultat de signe opposé, un débordement s'est produit. Deux nombres positifs ne peuvent pas sommer à un négatif, et deux négatifs ne peuvent pas sommer à un positif lorsque le champ est adéquat.

Inversement, l'addition d'un positif et d'un négatif ne peut jamais déborder. La somme résultante est toujours plus proche de zéro que l'un ou l'autre opérande, garantissant qu'elle reste dans l'intervalle représentable.

Ces règles de détection de débordement sont implémentées dans les additionneurs numériques et forment un concept fondamental de l'arithmétique informatique.

Fiches d'exercices associées :

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