Maîtriser l'analyse des circuits série RLC : de l'impédance à la loi des mailles

Dans cet article, nous parcourons un exemple pratique de circuit série RLC et montrons comment l'analyser en utilisant l'impédance complexe, la loi d'Ohm et la loi des mailles de Kirchhoff.

Circuit série R, L et C.

Étape 1 : Calculer les réactances

D'abord, calculons les réactances inductive et capacitive :

Étape 2 : Convertir en impédance

Exprimons chaque élément comme une impédance complexe. Rappelons qu'une inductance contribue une composante imaginaire positive (+jX_L), un condensateur une composante imaginaire négative (–jX_C), et une résistance reste purement réelle (R).

Circuit série RLC avec impédances substituées aux valeurs des composants.

Tabuler les quantités

Avec toutes les oppositions exprimées comme nombres complexes, le circuit se comporte comme un réseau continu où chaque impédance peut être traitée comme une résistance.

Remplissons un tableau avec la tension d'alimentation, les impédances des composants et les valeurs connues :

La tension source est prise comme référence (0°). Les angles de phase des impédances individuelles sont absolus : +90° pour l'inductance, –90° pour le condensateur.

Pour simplifier, nous supposons des composants réactifs idéaux tout au long de cet exemple.

Comme le circuit est en série, l'impédance totale est la somme algébrique des impédances individuelles :

Insérons ceci dans le tableau :

Appliquer la loi d'Ohm

En utilisant I = E/Z, calculons le courant total pour le réseau série :

Comme le circuit est série, le même courant traverse chaque élément. Distribuons ce courant dans le tableau :

Déterminer les chutes de tension

Appliquons V = IZ à chaque composant pour trouver la chute de tension aux bornes de la résistance, de l'inductance et du condensateur :

Remarquez que la tension d'alimentation n'est que de 120 V, pourtant la tension du condensateur est de 137,46 V. Ce paradoxe apparent s'explique par l'effet d'annulation entre les réactances inductive et capacitive.

En série, les réactances inductive (+jX_L) et capacitive (–jX_C) s'opposent, réduisant l'impédance totale. Une impédance plus faible produit un courant plus élevé, qui peut engendrer des chutes de tension individuelles supérieures à la tension source.

Une fois toutes les valeurs des composants exprimées en impédances, l'analyse de circuit alternatif se réduit à l'analyse continue, la seule différence étant la gestion des grandeurs vectorielles.

Les calculs de puissance restent l'élément unique qui diffère entre l'analyse alternative et continue.

Vérification avec la loi des mailles de Kirchhoff

La loi des mailles (KVL) stipule que la somme algébrique des chutes de tension doit égaler la tension source. L'addition complexe le confirme :

Même si les chutes individuelles semblent plus grandes que la source, leur somme vectorielle est exactement 120 V (120 + j0 V). Les erreurs d'arrondi sont négligeables lorsque tous les chiffres significatifs sont conservés.

Vérification par simulation SPICE

Voici une netlist SPICE pour le même circuit :

 r1 1 2 250
l1 2 3 650m
c1 3 0 1.5u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,3) v(3,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,3) vp(3,0) ip(v1)
.end

Les résultats SPICE confirment les valeurs calculées à la main :

La simulation correspond aux calculs analytiques.

Points clés à retenir

• Les impédances en série s'additionnent directement : Z_total = ΣZ_i.
• Dans un circuit série RLC, les réactances inductive et capacitive peuvent s'annuler, réduisant l'impédance totale et augmentant potentiellement les chutes de tension individuelles au-delà de l'alimentation.
• Toutes les règles des circuits continus s'appliquent à l'alternatif lorsque les quantités sont exprimées comme impédances complexes, sauf pour les calculs de puissance, qui nécessitent un traitement séparé.

Exercices supplémentaires

• Feuille de travail sur les circuits AC combinés série-parallèle