Conversion des nombres décimaux en binaire, octal et hexadécimal : guide pratique

Bien que les systèmes binaire, octal et hexadécimal soient profondément ancrés en informatique, la plupart des gens sont plus à l'aise avec le système décimal. Convertir du décimal vers ces bases non décimales peut sembler intimidant, mais avec une méthodologie claire, cela devient simple.

Méthode par essais et ajustements

L'approche par essais et ajustements est intuitive : on part de la plus haute valeur de position dans la base cible et on détermine si cette position doit être 0 ou 1 (ou le chiffre approprié pour l'octal/l'hexadécimal). En ajoutant les poids de position correspondants, on descend jusqu'à ce que la valeur accumulée corresponde au nombre décimal.

Exemple : 87 en binaire

On commence avec un champ binaire listant les poids de position : 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Puisque 128 dépasse 87, le bit 128 est 0. Le poids suivant, 64, convient, donc on met ce bit à 1. Il reste 23. Le bit 32 dépasserait, il reste 0. En continuant ce processus, on obtient le motif binaire 1010111₂.

Essais et ajustements pour l'octal et l'hexadécimal

La même logique s'applique aux bases 8 et 16. Pour 87₁₀, la plus haute position octale est 64. Un 1 à cette position donne 64, il reste 23. En testant 2, 3, etc., on trouve que 2×8=16 convient, laissant 7, qui est exactement 7₁₀. Ainsi 87₁₀ = 127₈.

Alternativement, on peut d'abord convertir 87 en binaire (1010111₂) puis regrouper les bits par trois pour obtenir l'équivalent octal, ce qui confirme le résultat.

Technique des divisions successives

Cette méthode mathématiquement équivalente est souvent plus rapide. Divisez le nombre décimal par la base cible, en notant le reste. Répétez avec le quotient jusqu'à ce qu'il devienne 0. Les restes, lus de bas en haut, forment les chiffres de la base cible.

Exemple binaire

Les restes 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1 donnent 1010111₂.

Exemple octal

Les restes 7, 2, 1 se lisent 127₈.

Conversion des décimaux fractionnaires

Pour les décimaux inférieurs à 1, utilisez des multiplications successives par la base cible. La partie entière de chaque produit devient le chiffre suivant à droite du point.

Exemple : 0.8125₁₀ en binaire

En multipliant par 2 successivement, on obtient la fraction binaire 0.1101₂.

Nombres mixtes (entier + fraction)

Lorsque le décimal a une partie entière et une partie fractionnaire, appliquez les divisions successives à la partie entière et les multiplications successives à la partie fractionnaire. Combinez les résultats avec un point binaire.

Exemple : 54.40625₁₀ en binaire

En assemblant les deux moitiés, on obtient 110110.011001₂.

Fiches d'exercices associées

• Fiche d'exercices sur les systèmes de numération