Notation scientifique

Dans de nombreuses disciplines de la science et de l'ingénierie, des quantités numériques très grandes et très petites doivent être gérées. Certaines de ces quantités sont ahurissantes par leur taille, qu'elles soient extrêmement petites ou extrêmement grandes. Prenons par exemple la masse d'un proton, l'une des particules constitutives du noyau d'un atome :

Masse du proton =0,00000000000000000000000000167 grammes

Ou, considérez le nombre d'électrons passant par un point dans un circuit chaque seconde avec un courant électrique constant de 1 ampère :

1 ampère =6 250 000 000 000 000 000 électrons par seconde

Beaucoup de zéros, n'est-ce pas ? De toute évidence, cela peut devenir assez déroutant d'avoir à gérer autant de chiffres zéro dans des nombres comme celui-ci, même avec l'aide de calculatrices et d'ordinateurs.

Prenez note de ces deux nombres et de la rareté relative des chiffres non nuls qu'ils contiennent. Pour la masse du proton, nous n'avons qu'un « 167 » précédé de 23 zéros avant la virgule. Pour le nombre d'électrons par seconde dans 1 ampère, nous avons « 625 » suivi de 16 zéros.

Nous appelons l'étendue des chiffres non nuls (du premier au dernier), plus tous les chiffres nuls pas simplement utilisés comme espaces réservés, les "chiffres significatifs" de n'importe quel nombre.

Les chiffres significatifs d'une mesure réelle reflètent généralement la précision de cette mesure. Par exemple, si nous devions dire qu'une voiture pèse 3 000 livres, nous ne voulons probablement pas dire que la voiture en question pèse exactement 3 000 livres, mais que nous avons arrondi son poids à une valeur plus pratique à dire et à retenir.

Ce chiffre arrondi de 3 000 n'a qu'un seul chiffre significatif :le « 3 » devant - les zéros servent simplement d'espaces réservés. Cependant, si nous devions dire que la voiture pesait 3 005 livres, le fait que le poids ne soit pas arrondi au millier de livres le plus proche nous indique que les deux zéros au milieu ne sont pas seulement des espaces réservés, mais que les quatre chiffres du nombre « 3005 » sont importants pour sa précision représentative. Ainsi, le nombre « 3005 » aurait quatre chiffres significatifs.

De la même manière, les nombres avec de nombreux chiffres zéro ne sont pas nécessairement représentatifs d'une quantité du monde réel jusqu'à la virgule décimale. Lorsque l'on sait que c'est le cas, un tel nombre peut être écrit dans une sorte de « raccourci » mathématique pour le rendre plus facile à traiter. Cette « abréviation » est appelée notation scientifique .

Avec la notation scientifique, un nombre est écrit en représentant ses chiffres significatifs comme une quantité comprise entre 1 et 10 (ou -1 et -10, pour les nombres négatifs), et les zéros « espace réservé » sont représentés par un multiplicateur puissance de dix . Par exemple :

1 ampère =6 250 000 000 000 000 000 électrons par seconde

. . . peut être exprimé comme . . .

1 ampère =6,25 x 10 ¹⁸ électrons par seconde

10 à la puissance 18 (10 ¹⁸ ) signifie 10 multiplié par lui-même 18 fois, ou un « 1 » suivi de 18 zéros. Multiplié par 6,25, il ressemble à « 625 » suivi de 16 zéros (prendre 6,25 et sauter la virgule de 18 places vers la droite). Les avantages de la notation scientifique sont évidents :le nombre n'est pas aussi lourd lorsqu'il est écrit sur papier, et les chiffres significatifs sont faciles à identifier.

Mais qu'en est-il des très petits nombres, comme la masse du proton en grammes ? On peut toujours utiliser la notation scientifique, sauf avec une puissance de dix négative au lieu d'une positive, pour décaler la virgule vers la gauche au lieu de la droite :

Masse du proton =0,00000000000000000000000000167 grammes

. . . peut être exprimé comme . . .

Masse du proton =1,67 x 10 ^-24 grammes

10 à la -24e puissance (10 ^-24 ) signifie l'inverse (1/x) de 10 multiplié par lui-même 24 fois, ou un « 1 » précédé d'un point décimal et de 23 zéros. Multiplié par 1,67, il ressemble à « 167 » précédé d'un point décimal et de 23 zéros. Tout comme dans le cas d'un très grand nombre, il est beaucoup plus facile pour un être humain de traiter cette notation « abrégée ». Comme dans le cas précédent, les chiffres significatifs de cette quantité sont clairement exprimés.

Étant donné que les chiffres significatifs sont représentés « par eux-mêmes », loin du multiplicateur de puissance de dix, il est facile de montrer un niveau de précision même lorsque le nombre semble rond. En prenant notre exemple de voiture de 3 000 livres, nous pourrions exprimer le nombre arrondi de 3 000 en notation scientifique comme tel :

poids de la voiture =3 x 10 ³ livres

Si la voiture pesait en réalité 3 005 livres (à la livre la plus proche) et que nous voulions pouvoir exprimer cette précision totale de mesure, le chiffre de notation scientifique pourrait être écrit comme ceci :

poids de la voiture =3,005 x 10 ³ livres

Cependant, que se passe-t-il si la voiture pesait en réalité 3 000 livres, exactement (à la livre la plus proche) ? Si nous devions écrire son poids sous forme «normale» (3 000 livres), il ne serait pas nécessairement clair que ce nombre était effectivement exact à la livre la plus proche et pas simplement arrondi au millier de livres le plus proche, ou à la centaine de livres le plus proche , ou à la dizaine de livres près. La notation scientifique, d'autre part, nous permet de montrer que les quatre chiffres sont significatifs sans malentendu :

poids de la voiture =3.000 x 10 ³ livres

Puisqu'il ne servirait à rien d'ajouter des zéros supplémentaires à droite de la virgule décimale (car les zéros supplémentaires sont inutiles avec la notation scientifique), nous savons que ces zéros doivent être significatifs pour la précision du chiffre.

FICHES DE TRAVAIL CONNEXES :

• Fiche de travail sur la notation scientifique et les préfixes métriques